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评估博彩实力:贝叶斯方法与频率派方法

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博彩玩家如何评估自己的实力水平?

贝叶斯方法与频率派方法存在哪些区别?

随机度和预期实力概率如何?

评估博彩实力:贝叶斯方法与频率派方法

 

从最基本的层面上讲,

我此前曾对如何运用频率派方法(t 检验)评估投注历史质量进行过研究。本文将对两种方法进行一番对比。

  • 阅读:如何检验情报商记录的可信度

置信度

在概率论中,贝叶斯定理描述了在某事件发生的情况下另一事件发生的可能性。例如,假设我认为自己有 50% 的概率成为能够获利的高水平博彩玩家。那么,如果我下次投注获利,我对上述命题的置信度会受到怎样的影响?换句话说,投注获利这一证据如何改变我成为高水平博彩玩家的概率?

  • 成为赢利的博彩玩家:靠运气还是实力

贝叶斯定理认为,概率是对某一命题或假设的“置信度”,并以数学方式形成了证据已知前的先验置信度(先验概率)与说明证据之后的置信度( 后验概率)之间的关系。其公式如下:

{equation} – P(A|B)= P(A)*P(B|A)/P(B)

在本例中:

P(A) = 我是高水平博彩玩家的先验概率

P(B) = 我投注获利的先验概率

P(B|A) = 基于我是高水平博彩玩家这一条件我投注获利的概率。

P(A|B) = 基于我投注获利这一条件我是高水平博彩玩家的概率。

我们来举例说明一下。假设投资回报率能够持续达到 110% 者方可称为高水平博彩玩家。那么,对于同额投注,意味着每 100 人中有 55 名获利者。因此,基于我是高水平博彩玩家这一条件我投注获利的概率 P(B|A) 为 55%。

对于低水平博彩玩家而言,在公平的同额投注中获利的概率 P(B) 将为 50%。然而,假设我先前认为自己有 50-50 的可能性跻身高水平玩家行列 {P(A) = 50%},而此等博彩玩家的 P(B) 为 52.5%(即 50% 与 55% 的中间值)。

业内一流让分研究人员的胜率一般能达到 57%。扣除博彩公司的利润之后,投资回报率在 110% 左右。

如果我投注获利,那么将这些数字转换为贝叶斯定理后,得到的后验概率 P(A|B) 将为 52.38%。投注获利后,我认为自己成为高水平博彩玩家的概率比之前更大。

贝叶斯定理支持迭代计算。我在第一笔投注获利并更新自己成为高水平博彩玩家的概率后,现在再次下注。在第一步中计算出的后验概率作为新的先验概率。

我成为高水平博彩玩家的新后验概率现在将以我赢下(或输掉)下笔投注为条件。如果赢,则我成为高水平博彩玩家的概率将再次增加,如果输掉则减少。在本例中,如果我的第二笔投注再次获利,那么我成为高水平博彩玩家的概率将增加到 54.75%。

此过程可无限次重复,更新后的每个条件概率均在 0% 到 100% 之间。我已经运行 1000 次迭代,也就是说投注 1000 次。下图显示了每次投注后所获得的投注历史(蓝线)以及我成为高水平博彩玩家的贝叶斯概率(红线)。

Assessing skill in gambling

贝叶斯定理对概率的解释存在一个重大问题,那就是要求对某事件或状况有较高的先验认知或置信度。然而,我们在评估自身成为高水平博彩玩家的概率时是否真正具备这一点?在本例中,我选择 50% 完全是随意的,是没有任何依据的一种猜测而已。我们来看一下,如果我现在将初始先验概率改为 1%,将会发生什么?

Assessing skill in gambling

此外,在本上下文中,关于“高水平”的定义也完全是主观性的。可以说,如果某博彩玩家的投资回报率高达 105%,并且能够在超过 10,000 次的投注中达到此值,即认为其属于超高水平博彩玩家。之所以提出 10,000 次,是因为考虑到样本量的重要性。具体内容,请阅读小数定律的相关信息。同样,对于更新后的 P(A) 值,如何为每个迭代步骤定义 P(B) 也并不明确。

在我的贝叶斯模型中,我只是假设这样一种线性关系,如果 P(A) = 0%/20%/40%/60%/80%/100%,那么 P(B) = 50%/51%/52%/53%/54%/55%,但其有效性肯定是有问题的。更重要的一点可能是,由于基准投注胜率达到 52.5% 的博彩玩家本身显然已可以称为高水平玩家(只是比胜率为 55% 的玩家略逊一筹),因此我们这里测量的是实力程度而非实力概率。

尽管如此,该贝叶斯概率演化示意图仍十分有用,可在一定程度上直观测量博彩玩家持续获利能力的可能性(或强度),及其随时间推移可能发生的变化。

随机度

贝叶斯方法主要基于一组固定数据(收益和损失)确定假设条件(我是高水平博彩玩家)的概率,而频率派方法则侧重于给定假设的数据的概率(或频率)。这次的假设条件是固定的,也就是说,关于我能否成为高水平博彩玩家,该条件要么为真(100% 的概率),要么为假(0% 的概率),而假定数据是随机的。

如果关于某人能否成为高水平博彩玩家的初始先验置信度为 1% 的概率,那么经过 1000 次投注后,此值也不过是上升到 20%。

频率派方法通常先设置零假设,即,我不是高水平博彩玩家,我的所有投注结果完全取决于运气。然后该方法尝试在假定零假设为“真”的条件下,通过我们所观察的一些数据的统计信息(在本例中指我的收益和损失记录)计算概率(通常称为“p 值”)。

最后,将该概率与可接受的显著性值(有时称为“α 值”)进行比较,如果 p < α(通常为 5%或 1%),则推翻零假设,选用有效值。

我之前在平博的“博彩资源”中审核的统计值为 t 分数,之所以如此命名,是因为其来源于学生的统计显著性 t 检验。假设投注赔率公平,则可按以下方式近似计算“t 分数”:

其中 n = 投注次数,r = 投资回报率(用小数表示),o = 投注赔率平均值(用小数表示)。通过统计表或在线计算器将“t 分数”转换为“p 值”。在 Excel 中,可使用 TDIST 函数。接下来我们来结合投注历史示例看看此方法的实际应用情况。

下图使用双尾、单样本 t 检验对贝叶斯概率(即,在我成为高水平博彩玩家的先验置信度概率为 50% 的条件下我成为高水平博彩玩家的概率,图中以红线表示)的原始演化时序与频率派“p 值”的演化(即,在假设我毫无实力的条件下我所取得的成果的偶发概率,图中以绿线表示)进行了比较。

Assessing skill in gambling

按照一般的定性方式,这两条线截然相反,尽管这很可能是运气好的结果。但我们不应认为“p 值”测量的是低水平概率,因而 1-p 等于高水平概率。

撇开其他作用不谈,贝叶斯和频率派分析能够再次提醒博彩玩家,在博彩中稳定获利需要从长计议。

盈亏历史偶发概率为 5% 并不表示因实力因素发生的概率为 95%。这只是表示,假定投注输赢完全是随机的这一零假设为“真”,那么我们所观察的结果的预期发生率为 5%。

频率派方法的缺点在于其认为真理是绝对的。而贝叶斯方法则间接认为真理具有概率性、临时性以及可证伪性。然而,瑕不掩瑜,频率派假设检验同样为我们提供了一款有用的工具,我们可以用其分析投注历史,并确定这些历史是否有可能在其他非运气因素的作用下发生。

如果贝叶斯模型关于我成为高水平博彩玩家的原始先验置信度为 1%(而非 50%)的概率,那么其与频率派模型的对比情况如何?

Assessing skill in gambling

很显然,这次 t 检验结果对我们成为高水平情报商的置信度要高于贝叶斯方法,后者相比之下要保守得多。

这进一步凸显了贝叶斯概率对初始先验置信度的敏感性。对于这种情况,经过近 700 次投注后,t 检验结果可能会认为我们的投注历史的偶发概率只有 3%,而贝叶斯定理则暗示,我们达到长期投资回报率达 110% 的高水平级别只有不到 10% 的可能性。

我本人不喜欢冒险,因而倾向于更加保守的先验实力置信度,除非有充分的理由去质疑,否则我始终会以假定自己实力较差或毫无实力为前提。

预期实力概率

上述分析呈现的只是关于投注时间序列的一个随机示例,其中假设投资回报率为 110%。出于直观呈现的目的,我特意选择了一段投注历史,便于表达所讨论的观点。

如果想详细了解预期情况,即一般情况下的预期,应多次运行模型。熟悉平博“博彩资源”的朋友都知道,我们可以通过蒙特卡罗模拟进行此操作。

  • 阅读:使用蒙特卡罗方法分析投注

下面的第一个图显示了在 10 个假设胜率(51% 到 60%,间隔为 1%)的条件下贝叶斯概率(即我成为高水平博彩玩家的概率)演化的 10,000 次蒙特卡罗模拟运行的结果(假定赔率公平,相当于 102% 到 120%,预期值间隔为 2%)。

曲线的形成方式如下:计算 1000 次投注历史期间每次顺序下注后的贝叶斯概率的中间值,因此,此图所反映的信息优于平均值(低值和高值会影响解释的准确性)。

  • 了解平均值可能会影响投注预测的原因

假设关于我的实力的初始先验置信度 {p(A)} 为 1%。不出所料,假设胜率(和预期值)越高,对我的能力的置信度达到 100% 概率的速度就越快。(曲线颜色越深,表示假设胜率越高。)

Assessing skill in gambling

业内一流让分研究人员的胜率一般能达到 57%。扣除博彩公司的利润之后,投资回报率在 110% 左右。此图表明,如果您想跻身上述人群的行列,则需要考察 1000 次投注中的大部分投注信息,才能对自身能力形成深刻、有意义的认知,当然,前提是假定您最初认为自己几乎毫无实力。

相比之下,如果您发现自己的让分盘胜率不足 54%,但仍可盈利,那么要想真正认清自身实力,需要的时间将更长。如果关于某人能否成为高水平博彩玩家的初始先验置信度为概率 1%,那么经过 1000 次投注后,此值也不过是上升到 20%。

最后一个图反映了在同等条件(1000 次投注历史和 10 个假设胜率)下得到的一组类似的理想化预期 p 值。我们可通过一个等式来针对投注次数、投资回报率和投注赔率的任意组合近似计算“t 分数”,因此不需要进行蒙特卡罗模拟。同样,曲线颜色越深,表示假设胜率越大(从 51% 到 60%)。

Assessing skill in gambling

假设胜率为 57%,则经过 200 次投注后,统计显著性 p 值即会小于 5%,而经过约 335 次投注后,统计显著性 p 值将小于 1%。然而,要重申一点,这些信息反映的并不是博彩的实力水平,而只是假定无任何实力的条件下此历史的偶发可能性。

此外,与贝叶斯方法中的初始先验概率类似,这些统计显著性水平只是基于主观判断。然而,与贝叶斯模型类似,如果考虑到这些注意事项,p 值统计检验不失为一个好方法,能够让博彩玩家评估自身实现长期盈利预期的实力。

撇开其他作用不谈,贝叶斯和频率派分析能够再次提醒博彩玩家,在博彩中稳定获利需要从长计议。千万不要以为几场胜利就足以作为判断自身实力的依据。

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